[2015년 대진고]

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[2학년 1학기 기말 기하와 벡터]

평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 점 [eqn: rmP]는 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하고 점 [eqn: rmQ]는 대각선 [eqn: rmBD]를 [eqn: 1:3]으로 내분한다. 이때, [eqn: vec{rmQC} - k vec{rmPQ}]를 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 벡터 [eqn: veca = left(1,```1over t right)], [eqn: vecb = (t,```1-2t)]이 서로 수직일 때, [eqn: |2{vec{a}}+vec{b} |`^2]의 값은? (단, [eqn: t !=0])

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형 [eqn: RMABC]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmAH] 위를 움직일 때, [eqn: |vec {rmPA} cdot vec{rmPB} |]의 최댓값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(4,```0)], [eqn: rmB(0,```4)]에 대하여 점
[eqn: {rmP}(x,```y)]가 [eqn: vec{rmPA} cdot vec{rmPB} le 0], [eqn: vec{rmOP} cdot (vec{rmOA} + vec{rmOB}) le 16]를 만족시킬 때,
점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이는?

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 3pi]

④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: 5pi]

오각형 [eqn: rmABCDE]가 [eqn: bar{rmAB}= bar{rmBC}], [eqn: bar{rmAE} = bar{rmED}], [eqn: angle {rmB} `= angle{rmE}`=90 DEG]를 만족시킬 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 선분 [eqn: RMBE]의 중점 [eqn: rmM]에 대하여

[eqn: vec{rmAB} + vec{rmAE}]와 [eqn: vec{rmAM}]은 서로 평행하다.

ㄴ. [eqn: vec{rmAB} cdot vec{rmAE} `=` -vec{rmBC} cdot vec{rmED}]

ㄷ. [eqn: |vec{rmBC} + vec{rmED} |= |vec{rmBE} |]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

아래 그림은 운동장에 [eqn: 30 DEG]의 각을 이루면서 서 있는 차광막과 그 그림자를 나타낸 것이다. 운동장과 차광막의 교선과 태양 광선이 이루는 각의 크기가 [eqn: 30DEG]이고, 그림자의 넓이가 [eqn: 9]일 때, 차광막의 넓이를 구하면?

① [eqn: 3 sqrt {3}]	② [eqn: 4 sqrt {3}]	③ [eqn: 5 sqrt {3}]

④ [eqn: 6 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {3}]

그림의 직육면체에서 [eqn: {bar{rm AB it}} `=2], [eqn: bar{rmBF}=4]이다. 평면 [eqn: rmAFD]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos `theta]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt { 2}over5]

④ [eqn: sqrt { 5}over5]	⑤ [eqn: 2sqrt { 5}]

그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 서로 수직이고 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]은 각각의 평면 위에 있다. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선 [eqn: rmXY] 위의 점 [eqn: rmP]에서 만나고, 교선 [eqn: rmXY]와 각각 [eqn: 60DEG], [eqn: 30DEG]의 각을 이룬다. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: 1over2]	② [eqn: sqrt { 2}over2]	③ [eqn: sqrt { 3}over2]

④ [eqn: sqrt { 2}over4]	⑤ [eqn: sqrt {3}over4]

두 점 [eqn: rmA(3,```1,```2)], [eqn: rmB(1,```0,```-1)]과 [eqn: yz]평면 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형이 되도록 하는 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: {rmC}(a,```b,```c)]이다. 이때, [eqn: k=a+b+c]라 할 때, [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: bc<0])

① [eqn: 1]	② [eqn: 6over5]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 18over5]	⑤ [eqn: 5]

네 점 [eqn: (0,```0,```0)], [eqn: (1,```1,```2)], [eqn: (0,```3,```-1)], [eqn: (-2,```4,```0)]을 지나는 구의 반지름의 길이는?

① [eqn: sqrt { 3}]	② [eqn: sqrt { 5}]	③ [eqn: sqrt { 6}]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

구 [eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 +(x-3)^2 =4]에 대하여 구 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP`']이라고 할 때, 선분 [eqn: rmP P`']의 길이의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 점 [eqn: {rmA}(a,```b,```9)], [eqn: {rmB}(6,```-6,```c)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점이 [eqn: x]축 위에 있고, [eqn: 3:2]로 외분하는 점이 [eqn: yz]평면 위에 있다. 이때 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: - 1over6]	② [eqn: - 1over5]	③ [eqn: - 1over4]

④ [eqn: - 1over3]	⑤ [eqn: - 1over2]

점 [eqn: rmP]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 구가 두 개의 구
[eqn: {rmO} `:`x^2 +y^2 +x^2 =1 #{rmO`'}`:`(x-2)^2 +(y+1)^2 +(z-2)^2 =4]
에 동시에 외접한다. 이때 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 넓이를 [eqn: S]라고 할 때, [eqn: 9S]의 값은?

① [eqn: 80pi]	② [eqn: 85pi]	③ [eqn: 90pi]

④ [eqn: 95pi]	⑤ [eqn: 100pi]

구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 -4x-6y-2z-22=0]을 [eqn: xy]평면으로 자른 단면을 밑면으로 하고 구에 내접하는 원뿔의 부피의 최댓값은?

① [eqn: 120 over 3 pi]	② [eqn: 125 over 3 pi]	③ [eqn: 200 over 3 pi]

④ [eqn: 245 over 3 pi]	⑤ [eqn: 250 over 3 pi]

중심이 [eqn: (-3,```2,```1)]인 구 [eqn: S]에 의하여 잘린 [eqn: x]축의 길이가 [eqn: 4]일 때, 구 [eqn: S]와 [eqn: xy]평면이 만나서 생기는 원의 넓이를 [eqn: A], 구 [eqn: S]와 [eqn: zx]평면이 만나서 생기는 원이 넓이를 [eqn: B]라 할 때, [eqn: A-B]의 값은?

① [eqn: 2pi]	② [eqn: 3pi]	③ [eqn: 4pi]

④ [eqn: 5pi]	⑤ [eqn: 6pi]

좌표공간에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: {rmA}(n+1, ```2n-1,```3+n)]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rmA`'}(a_3n-2`,```a_3n-1`,```a_3n )], 점
[eqn: {rmB}(2n-1,```-n+2,```3n+1)]을 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점을
[eqn: {rmB`'}(b_3n-2 `,```b_3n-1`,```b_3n )]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^60 (a_n +b_n )]의 값은?

① [eqn: -3840]	② [eqn: -360]	③ [eqn: -180]

④ [eqn: -90]	⑤ [eqn: -45]

서술형

아래 그림은 [eqn: BAR{RMAB}=4], [eqn: bar{rmAD}=4 sqrt { 3}]인 직사각형 [eqn: rmABCD]와 이
직사각형의 한 변 [eqn: rmCD]를 지름으로 하는 원을 나타낸 것이다. 이
원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 두 벡터 [eqn: vec{rmAC}], [eqn: vec{rmAP}]의 내적
[eqn: vec{rmAC} cdot vec{rmAP}]의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, 직사각형과 원은 같은 평면 위에 있다.)

아래 그림의 사면체에서 [eqn: bar{rm AB it} = bar{rm AC it} =7], [eqn: bar{rmBD}=bar{rmCD}=5], [eqn: bar{rmAD}=4]이다. 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.

좌표공간에서 중심의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표, [eqn: z]좌표가 모두 양수인 구 [eqn: S]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 각각 접하고, [eqn: z]축과 서로 다른 두 점에서 만난다. 구 [eqn: S]가 [eqn: xy]평면과 만나서 생기는 원이 넓이가 [eqn: 36pi]이고, [eqn: z]축과 만나는 두 점 사이의 거리가 [eqn: 4]일 때, 구 [eqn: S]의 반지름의 길이를 구하는 과정을 서술하시오.

[2015년 대진고]

[2학년 1학기 기말 기하와 벡터]

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